OpenAI का आरेख c² = 65 चुनने पर आधारित है, जिसे 1² + 8² = 65 या 4² + 7² = 65 से संतुष्ट किया जा सकता है। इसका मतलब है कि यदि ग्रिड रिक्ति 1/√65 है, तो प्रत्येक बिंदु 16 अन्य बिंदुओं से एक इकाई दूर होगा: (1,8), (4,7), (7,4), (8,1), (-1,8), (-4,7), और इसी तरह आगे. C² के लिए बड़े मान – यदि उन्हें सावधानी से चुना जाता है – तो अधिक पूर्ण-संख्या विकर्ण और इसलिए अधिक इकाई-दूरी जोड़े सक्षम होते हैं।
हालाँकि, यदि ग्रिड में अंकों की संख्या की तुलना में c² बहुत बड़ा है, तो संभावित एक-यूनिट-दूर पड़ोसियों में से कई ग्रिड के बाहर होंगे।
संक्षेप में, हम एक ऐसा c² चुनना चाहते हैं जो काफी बड़ा हो लेकिन बहुत बड़ा न हो। संख्या सिद्धांत सहित अंतर्दृष्टि का उपयोग करना जैकोबी का दो-वर्ग प्रमेयएर्दो यह दिखाने में सक्षम था कि एक इष्टतम आकार का वृत्त इकाई-दूरी जोड़े की संख्या को अंकों की संख्या की तुलना में तेजी से बढ़ने में सक्षम करेगा, लेकिन केवल मुश्किल से।
प्रश्न बन गया “क्या आप बेहतर कर सकते हैं?” ऊपरी सीमा को खोजने के लिए, एर्दो ने गणित के एक बिल्कुल अलग क्षेत्र से एक तर्क का उपयोग किया, जिसे ग्राफ़ सिद्धांत कहा जाता है, यह दिखाने के लिए कि आपके पास केवल इतनी ही इकाई दूरियाँ हो सकती हैं। लेकिन उसकी ऊपरी सीमा उस सर्वोत्तम निचली सीमा की तुलना में बहुत तेजी से बढ़ती है, जिसे वह बनाने में सक्षम था।
एर्दोस का अनुमान था कि वास्तविक इष्टतम ऊपरी सीमा की तुलना में निचली सीमा के बहुत करीब था। उन्होंने भविष्यवाणी की, लेकिन साबित नहीं कर सके कि इकाई-दूरी जोड़े की अधिकतम संख्या अंकों की संख्या की तुलना में बमुश्किल तेजी से बढ़ती है।
अधिक सटीक होने के लिए, एर्दो ने अनुमान लगाया कि इकाई दूरियों की संख्या n^(1+o(1)) होगी। दूसरे शब्दों में, पर्याप्त रूप से बड़े n के लिए, इकाई दूरियों की अधिकतम संख्या किसी भी 𝜖 > 0 के लिए n^(1+𝜖) से कम होगी। यह उसके निचले-बाउंड निर्माण की तुलना में थोड़ा तेजी से बढ़ सकता है – जो कि कुछ स्थिर C के लिए n^(1 + C/(लॉग लॉग एन)) था – लेकिन एक ही सामान्य बॉलपार्क के भीतर।
